摘要：小學數學教師在教授兩位數乘法教學中經常會向學生介紹便捷的速算方法，既開拓了學生思維，又有效地提高了學生的計算能力。本文嘗試對最為常見的幾種兩位數乘兩位數的速算方法進行學理上的分析，以使教師既能知其然，還能知其所以然，便于教師進一步有效地向學生傳授速算的技巧。
論文關鍵詞：小學數學,教學,兩位數乘法,速算法

　　兩位數乘法是小學數學教學的重要內容，教師在教學中經常會教給學生一些便捷的速算方法。這些速算法既有利于拓展學生的思維，提高學生的計算能力，又可以提升學生對數學的學習興趣，增加學習過程的趣味性。因而，不失為小學數學教學的一種有益補充。但作為教師，除了熟記兩位數乘法速算口訣外，還應對兩位數乘法速算法本身有一學理上的認識，才能對算法本身“知其然且知其所以然”，真正做到心中有數。

　　以下是對幾種最常見的兩位數乘兩位數速算法的分析，僅供參考。

　　一、“頭同，尾和10”算法分析

　　1、速算要領

　　“頭同，尾和10”算法口訣：頭加1乘頭，兩尾乘積接后頭（不足兩位十補0）。是指個位數字之和是10，十位數字相同的兩個兩位數相乘時，則用第一個兩位數十位上的數字加1，乘以第二個兩個位數十位上的數字，其乘積構成該兩個兩位數乘積結果的前兩位；而兩數個位數字的乘積，則構成該兩個兩位數乘積的后兩位（如果個位數的乘積不滿10，則在其乘積結果前補0形成兩位），再把兩個乘積所形成的兩個兩位數順序排列，就形成了“頭同，尾合10”兩位數的乘積結果。

　　圖1 尾數乘積不足兩位算法圖例

　　

　　圖2 尾數乘積為兩位算法圖例

　　2、算法分析

　　依據速算口訣，將其轉化為科學計數法表示為：有（10a+b）與（10a+d）兩個兩位數相乘，且b+d=10，求證：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d。

　　證明：根據代數式（10a+b）×（10a+d）運算可得：

　　（10a+b）×（10a+d）=10a×10a+10ad+10ab+bd=10a×（10a+b+d）+bd

　　又∵b+d=10

　　∴10a（10a+b+d）+b·d=10a（10a+10）+b·d=10a×10（a+1）+b·d

　　故證：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d

　　對結果的形象表述，即是這一算法的基本口訣：AB和AD兩個兩位數相乘，且B+D=10。其結果為四位數EFGH，其中EF=A·（A+1），GH=B·D。

　　二、“尾同，頭和10”算法分析

　　1、速算要領

　　“尾同，頭和10”算法口訣：頭乘頭加尾，兩尾乘積接后頭（兩尾乘積不足10時在十位上補0）。是指兩個兩位數相乘時，如果兩數的個位數字相同，而十位數字之和是10，則以兩個兩位數十位上的數字相乘后加上任一兩位數的個位之和，構成該兩位數乘積結果的前兩位；而用兩位乘數個位上的乘積（如不滿兩位則在十位補0），則組成該兩位數乘積結果的后兩位，再把兩個乘積所形成的兩個兩位數順序排列就形成了“尾同，頭合10”兩位數的乘積結果。

　　

　　圖3 尾數乘積不足兩位算法圖例

　　圖4 尾數乘積為兩位算法圖例

　　2、算法分析

　　依據速算口訣，將其轉化為科學計數法則為：有（10b+a）與（10d+a）兩個兩位數，且b+d=10，求證：（10b+a）×（10d+a）=100（b·d+a）+a·a。

　　證明：根據代數式(10b+a)×（10d+a）運算可得：

　　（10b+a）×（10d+a）=10b×10d+10b×a+a×10d+a·a=10b·10d+10a(b+d)+a·a

　　又∵b+d=10

　　∴10b·10d+10a(b+d)+a·a=100b·d+100a+a·a=100×（b·d+a）+a·a

　　對結果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：BA和DA兩個兩位數相乘，且B+D=10。其結果為四位數EFGH，其中EF=B·D+A，GH=A·A。

　　三、“尾5，頭和偶”算法分析

　　1、速算要領

　　“尾5，頭和偶”算法口訣：頭乘頭加頭和折半，兩尾乘積接后頭。是指在兩數相乘時，如果個位數字是5，十位數字之和是偶數，則其十位數之積與十位數和的一半之和，構成該兩位數乘積的前兩位，而兩數個位數之積則構成了該兩位數乘積的后兩位，按順序組合之后，就形成了該兩位數的乘積。

　　

　　圖5 “尾5，頭和偶”算法圖例

　　2、算法分析

　　依據速算口訣，將其轉化為科學計數法則為：尾數為5的兩個兩位數(10b+5)與（10d+5），且b與d之和為偶數，求證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d)/2]+5×5

　　證明：根據代數式(10b+5)×（10d+5）運算可得：

　　（10b+5）×（10d+5）=10b×10d+10b×5+5×10d+5×5=10b·10d+50×(b+d)+5×5

　　又∵b+d=偶數

　　∴10b·10d+50(b+d)+5×5=100bd+100(b+d)/2+5×5

　　故證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d)/2]+5×5

　　對結果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：尾數為5的兩位數B5和D5，且B+D=偶數。其乘積為四位數EFGH，其中EF=B·D+(B+D)/2，GH=5×5。

　　四、“尾5，頭和奇”算法分析

　　1、速算要領

　　“尾5，頭和奇”算法口訣：頭乘頭加頭和減1折半，兩尾乘積加50接后頭。是指在兩數相乘時，如果個位數字是5，十位數字之和為奇數，則其十位數之積與十位數和減1后一半之和，構成該兩位數乘積的前兩位，而兩數個位數之積再加50則構成了該兩位數乘積的后兩位，按順序組合之后，就形成了該兩位數的乘積。

　　圖6 “尾5，頭和奇”算法圖例

　　2、算法分析

　　依據速算口訣，將其轉化為科學計數法則為：尾數為5的兩個兩位數(10b+5)與（10d+5），且b與d之和為奇數，求證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d-1)/2]+5×5+50

　　證明：根據代數式(10b+5)×（10d+5）運算可得：

　　（10b+5）×（10d+5）=10b×10d+10b×5+5×10d+5×5=100bd+50×(b+d)+5×5

　　又∵b+d=奇數，為能被整除，需把奇數轉化成偶數

　　∴100bd+50(b+d)+5×5=100bd+50(b+d)-50+5×5+50=10b·10d+50(b+d-1)+5×5+50

　　故證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+(b+d-1)/2]+5×5+50

　　對結果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：尾數為5的兩位數B5和D5，且B+D=奇數，則其乘積為四位數EFGH，其中EF=B·D+(B+D-1)/2，GH=5×5+50。

　　五、“頭5，尾和偶”算法分析

　　1、速算要領

　　“頭5，尾和偶”算法口訣：頭乘頭加尾和折半，兩尾乘積接后頭。是指如果十位數是5，個位數字之和是偶數，可用速算。

　　

　　圖7 “頭5，尾和偶”算法圖例

　　2、算法分析

　　依據速算口訣，將其轉化為科學計數法則為：十位數為5的兩個兩位數(10×5+b)與（10×5+d），且b與d之和為偶數，求證：（10b+5）×（10d+5）=100[5×5+(b+d)/2]+b·d

　　證明：根據代數式(10×5+b)×（10×5+d）運算可得：

　　(10×5+b)×（10×5+d）=100×5×5+50b+50d+b·d=100×5×5+50×(b+d)+b·d

　　又∵b+d=偶數

　　∴100×5×5+50×(b+d)+b·d=100×5×5+100×(b+d)/2+b·d

　　故證：（10b+5）×（10d+5）=100[5×5+(b+d)/2]+b·d

　　對結果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：十位數為5的兩位數5B和5D，且B與D之和為偶數，則其乘積為四位數EFGH，其中EF=5×5+(B+D)/2，GH=B·D

　　六、“頭5，尾和奇”算法分析

　　1、速算要領

　　“頭5，尾和奇”算法口訣：頭乘頭加尾和減1折半，兩尾乘積加50接后頭。是指十位為5、個位數相加之和為奇數的兩個兩位數相乘，其十位數字的乘積與個位數之和的一半的和，構成該兩個兩位數乘積的前兩位，而兩數的個位乘積加50的和則構成了該兩個兩位數乘積的后兩位，最后把前兩位與后兩位按順序排列，即形成該兩個兩位數的乘積。

　　圖8 “頭5，尾和奇”算法圖例

　　2、算法分析

　　依據速算口訣，將其轉化為科學計數法則為：

　　證明：根據代數式(10×5+b)×（10×5+d）運算可得：

　　(10×5+b)×（10×5+d）=100×5×5+50b+50d+b·d=100×5×5+50×(b+d)+b·d

　　又∵b+d=奇數，為能被整除，需把奇數轉化成偶數

　　∴100×5×5+50×(b+d)+b·d=100×5×5+50×(b+d)-50+b·d+50=100×5×5+50(b+d-1)+5×5+50

　　故證：(10×5+b)×（10×5+d）=100[5×5+(b+d-1)/2]+b·d+50

　　對結果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：十位數為5的兩位數5B和5D，且B與D之和為奇數，則其乘積為四位數EFGH，其中EF=5×5+(B+D-1)/2，GH=B·D+50

　　七、“和整百”算法分析

　　1、速算要領

　　“和整百”算法口訣：一個因素百倍減去它的平方數。是指兩個相乘的兩位數，如果兩數之和正好100，則其乘積為任意一個因數的100倍與該因素平方之差，即為這兩個兩位數之乘積。

　　圖9 “和整百”算法圖例

　　2、算法分析

　　依據速算口訣，將其轉化為科學計數法則為：有兩個兩位數A和B，且A+B=100，求證：A·B=100B-B·B或者A·B=100A-A·A。

　　證明：∵A+B=100

　　∴A·B=（100-B）·B

　　故證：A·B=100B-B·B

　　同理可證：A·B=100A-A·A

　　對結果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：和為100的兩個兩位數相乘，其積等于其中一個因素的100倍減去其該因素平方的差。

　　八、“通用法”算法分析

　　1、速算要領

　　“通用法”算法口訣：頭乘頭接尾乘尾，加十倍兩兩頭尾乘積之和。是指毫無規律的任意兩個兩位數相乘，其結果為該兩位數的十位相乘，所得的結果與該兩位數個位相乘的結果排列成一個三位或四位數字，在加上該兩位數內項與外項乘積之后的10倍，其結果就是該兩位數的乘積。

　　

　　圖10 十位乘積不足兩位算法

　　圖11 十位乘積不足兩位算法

　　2、算法分析

　　依據速算口訣，將其轉化為科學計數法則為：有任意兩個兩位數（10a+b）與（10c+d），求證：（10a+b）×（10c+d）=100ac+bd+10（bc+ad）。

　　證明：根據代數式（10a+b）×（10c+d）運算可得：

　　（10a+b）×（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd

　　故證：（10a+b）×（10a+d）=100ac+bd+10（bc+ad）

　　對結果的形象表述，即是這一算法的基本口訣：任意兩個兩位數AB和CD相乘，其結果為EFGH+10IJ。其中，EF=A·C，GH=B·D，IJ=B·C+A·D.

　　以上速算方法比較直觀簡單，在教學中需將速算口訣詳加講述與說明，在學生掌握后，兩位數乘兩位數的乘法結果便可以在很短時間內迅速準確地計算出來。
參考文獻：
①王仕堯.兩位數乘兩位數速算簡介[J].四川教育.1986,2.